Ejemplo de modelado de un robot

Como parte de un proyecto personal he decidido probar varias leyes de control en un robot angular. En este primer artículo presentaré el modelado de un brazo robótico (omitiendo el actuador final) en configuración angular.

La configuración angular se compone de tres articulaciones rotatorias, tiene un volumen de trabajo con forma de esfera solamente limitado por el rango de cada articulación y la interferencia que pueda tener consigo mismo. Esta configuración suele ser la base de los robots articulados de 6 grados de libertad (Ver Figura 1).

Figura 1: Configuración articular, el eslabón 1 esta indicado en color verde, el 2 en color azúl y el 3 en rojo.

Parametros del robot

Seguiremos el convencionalismo de Denavit Hartenberg que fue presentado por James Denavit y Richard S. Hartenberg en 1955 y nos permite hacer el mapeo de articulación en articulación de forma sistemática.

Definiendo ejes

Comenzamos con los ejes $z$ de cada marco de referencia, el eje $x_0$ va alineado con el eje de rotación de la primera articulación, el eje $x_1$ va alineado con el eje de rotación de la segunda articulación y el eje $x_2$ va alineado con el eje de rotación de la tercera articulación. El sistema de coordenadas $3$ lo definiremos al final.

El eje $x_0$ lo podemos colocar donde queramos sobre el eje $z_0$, por conveniencia lo colocaremos en la intersección del eje $z_0$ y $z_1$ apuntando hacia la derecha. Como los ejes $z_0$ y $z_1$ se intersectan, colocaremos el eje $x_1$ en dicha intersección pero normal a los ejes $z_0$ y $z_1$. El eje $z_2$esta en dirección de una línea normal que une los ejes $z_1$ y $z_2$, tenemos una infinidad de estas líneas y por conveniencia escogeremos la única que también toca el eje $x_1$.

Hasta el momento hemos definido la dirección de los ejes $z_i$ y $x_i$, podemos determinar el origen $O_i$ de cada sistema como el punto donde se intersectan estos ejes, el sentido de estos ejes es a conveniencia y los ejes $y_i$ se agregan siguiendo el convencionalismo de la mano derecha (dedo índice corresponde al eje $x$, dedo medio al eje $y$ y el pulgar al eje $z$).

El sistema coordenado 3 lo podemos colocar a conveniencia, lo pondremos paralelo al sistema coordenado 2 pero con un desface en $x$ para corresponda con el origen de un actuador que se le pondrá en otra ocasión.

Figura 2: Sistemas coordenados de cada articulación.

Tabla de Denavit Hartenberg

Para el eslabón 1 tenemos que la distancia desde la intersección del eje $x_1$ y $z_0$ hasta el origen $O_1$ a lo largo de $x_1$ es cero, por lo que $a_1=0$. El ángulo desde $z_0$ hasta $z_1$ medido sobre $x_1$ es $\pi /2$ o ${90}^{\circ }$ por lo que ${\alpha }_1=\pi /2$. La distancia desde $z_0$ hasta la intersección del eje $z_0$ con $x_1$ es $0$ por lo que $d_1=0$. Finalmente, el ángulo desde $x_0$hasta $x_1$ medido en el eje $z_0$ es ${\theta }_1$.

Para el eslabón 2 tenemos que la distancia desde la intersección del eje $x_2$ y $z_1$ hasta el origen $O_2$ a lo largo de $x_2$ es la longitud del eslabón y la nombraremos $a_2$. El eje $z_1$ y el eje $z_2$son paralelos. por lo que ${\alpha }_2=0$. La distancia desde $z_1$ hasta la intersección del eje $z_1$ con $x_2$ es $0$ por lo que $d_2=0$. Finalmente, el ángulo desde $x_1$ hasta $x_2$ medido en el eje $z_1$ es ${\theta }_2$.

Para el eslabón 3 tenemos que la distancia desde la intersección del eje $x_3$ y $z_2$ hasta el origen $O_3$a lo largo de $x_3$ es la longitud del eslabón y la nombraremos $a_3$. El eje $z_2$ y el eje $z_3$ son paralelos. por lo que ${\alpha }_3=0$. La distancia desde $z_2$ hasta la intersección del eje $z_2$ con $x_3$ es $0$por lo que $d_3=0$. Finalmente, el ángulo desde $x_2$ hasta $x_3$ medido en el eje $z_2$ es ${\theta }_3$.

Con esto en mente, definimos la siguiente tabla con los parámetros de Denavit Hartenberg:

Eslabón	$a_i$	${\alpha }_i$	$d_i$	${\theta }_i$
1	0	$\pi /2$	0	${\theta }_1$
2	$a_2$	0	0	${\theta }_2$
3	$a_3$	0	0	${\theta }_3$

Modelo cinemático directo

Con los parámetros de Denavit Hartenberg identificados, tenemos las siguientes matrices de transformación homogénea:

$$A_1^0=\left[\begin{array}{cccc}\cos {\theta }_1& 0& \sin {\theta }_1& 0\\ \sin {\theta }_1& 0& -\cos {\theta }_1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$ $$A_2^0=\left[\begin{array}{cccc}\cos {\theta }_2& -\sin {\theta }_2& 0& a_2\cos {\theta }_2\\ \sin {\theta }_2& \cos {\theta }_2& 0& a_2\sin {\theta }_2\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$ $$A_3^0=\left[\begin{array}{cccc}\cos {\theta }_3& -\sin {\theta }_3& 0& a_3\cos {\theta }_3\\ \sin {\theta }_3& \cos {\theta }_3& 0& a_3\sin {\theta }_3\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$ De aquí se sigue la matriz de transformación que va de 0 a 3 es: $$T_3^0=\left[\begin{array}{cccc}\cos ({\theta }_2+{\theta }_3)\cos \left({\theta }_1\right)& -\sin ({\theta }_2+{\theta }_3)\cos \left({\theta }_1\right)& \sin \left({\theta }_1\right)& \cos \left({\theta }_1\right)(a_3\cos ({\theta }_2+{\theta }_3)+a_2\cos \left({\theta }_2\right))\\ \cos ({\theta }_2+{\theta }_3)\sin \left({\theta }_1\right)& -\sin ({\theta }_2+{\theta }_3)\sin \left({\theta }_1\right)& -\cos \left({\theta }_1\right)& \sin \left({\theta }_1\right)(a_3\cos ({\theta }_2+{\theta }_3)+a_2\cos \left({\theta }_2\right))\\ \sin ({\theta }_2+{\theta }_3)& \cos ({\theta }_2+{\theta }_3)& 0& a_3\sin ({\theta }_2+{\theta }_3)+a_2\sin \left({\theta }_2\right)\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$ Esta matriz representa el modelo cinemático directo de nuestro robot, para entenderla mejor, representamos a $T_3^0$ de la siguiente forma: $$T_3^0=\left[\begin{array}{cccc}n& s& a& d\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$ donde $n=[n_x,n_y,n_z{]}^T$, $s=[s_x,s_y,s_z{]}^T$, $a=[a_x,a_y,a_z{]}^T$ y $d=[d_x,d_y,d_z{]}^T$. La posición del origen del tercer marco de referencia $O_3$ para los ángulos ${\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3$ nos las da el vector $d$, las componentes del eje $x_3$ en los ejes de $O_0$ nos las da el vector $n$, las componentes del eje $y_3$ en los ejes de $O_0$ nos las da el vector $s$ y las componentes del eje $z_3$ en los ejes de $O_0$ nos las da el vector $a$.